蓉省数学会，


    行政楼三楼，副会长办公室，


    “老师，今年的题会不会出得太难了？”


    一个二十多岁的青年端着咖啡，坐在沙发上，跟对面一个五十来岁的中年说道。


    两人才刚讨论完一个学术问题，此时都有些疲惫，决定先坐下来休息休息。


    马景堂揉着太阳穴，摇了摇头，“就是要难点才好！”


    心里感叹着岁月不饶人，当年他年轻时，思维何等敏捷，现在只是讨论了一个小时，就有些力不从心了，他已经过了数学家出成绩的三十到五十岁黄金期了。


    “去年题出得简单，倒是有不少考满分的，看着花团锦簇，一片繁荣的样子，结果怎么着？”


    “最后偌大一个蓉城，竟然没有一个参加imo的选手！”


    谈到这个话题，马景堂也正好有话要说，这一年来他可没少被其他省数学会的老家伙们调侃，所以今年他特意打招呼，把题往难了出。


    杨寒莞尔，想到了老师被调侃的画面。


    蓉省也算是数竞强省，去年却连进imo的选手都没有，说是浪费了人才也不为过，的确是奇耻大辱了。


    “老师竟然直接把那道题当成了压轴题，”


    但是杨寒还是不太赞成老师的做法，“那道题难度可不低，甚至比一些cmo的题都难了，今年恐怕一个满分都没有了。”


    “省赛满不满分的不重要，能进imo，能在imo拿到金牌才重要！”


    马景堂满不在乎的轻轻摆了摆手，“再说了，最后那道题可是那位出的，要是能做出来，说不定还能入那位的眼，对那些小家伙来说反倒是好事。”


    “这倒也是。”


    杨寒点头表示认同。


    “就是不知道今年还能不能出个满分了。”


    ……


    李斌走下讲台，来到陈辉身旁，看向陈辉的试卷。


    就这么短短的功夫，第一道大题的空白就已经写满了字迹，这个小家伙已经在第二题的空白处书写解题过程了。


    “这么快的吗？”


    这下子李斌可不会认为陈辉是在瞎写了。


    填空题可以随便写点数字，大题是需要过程的，若是不会，连瞎写都做不到。


    不管做得对不对，至少说明这孩子数学素养是很不错的。


    “看来今年蓉省有两个很不错的苗子啊！”


    李斌有些开心，结合所有人的反应，他知道，并不是今年的题太简单，而是考生里出了两位妖孽。


    虽然天天在数学会里打杂，但他还挺喜欢这里的，若是蓉省的选手取得好成绩，蓉省数学会也会与有荣焉。


    简单扫了一眼解题过程，确定陈辉第一道大题解答没有问题后。


    李斌再次迈步，向右边中间那位同学走去。


    一路走过，其他同学们大多还在做填空题第7题，第8题，当然，也有的同学选择性的放弃了第8题，开始看大题了。


    而现在距离考试开始已经过去半个小时了！


    别看考试时间还剩两个多小时，但李斌知道，后面的四道大题才是硬菜，两个半小时可不好啃。


    嗯，当然是对一般人来说。


    比如眼前这位，同样已经做完了第一道大题，开始审第二题的题目了。


    速度也就比第一排蓉城二中那个家伙慢点。


    时间飞快流逝，做完第二道大题，看向第三道，邓乐岩感觉很是疲惫。


    去年他还是初三的时候就参加了省赛，还入了国决，当然，最后只拿到了铜牌。


    去年省赛他还拿了满分，所以这次来考试根本没当回事，只有他自己知道这一年的时间他成长有多恐怖。


    天才的一年，跟普通人的一年是不一样的。


    但显然，今年的题比去年难了许多，即便是一年后的他做起来，都感觉很是吃力，让他有种去年做cmo题目的滞涩感。


    尤其是那个烦人的监考老师，还不停的在旁边晃悠，让他很是恼火，恨不得给他找张椅子，把他按上去。


    陈辉丝毫没有受到影响，他早就习惯了在任何环境下学习，一旦他全神贯注的去做某件事情，外界很难对他造成影响。


    飞快的写完第二道平面几何的证明题，陈辉看向了第三道大题。


    【设a，b为正整数，s是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：


    （1）对任意非负整数k，有a^k∈s;


    （2）若正整数n∈s，则n的每个正约数均属于s;


    （3）若m，n∈s，且m，n互素，则mn∈s;


    （4）若n∈s，则an+b∈s。


    证明：与b互素的所有正整数均属于s.】


    “数论？”


    陈辉皱眉。


    他并不擅长数论。


    但他也没有自暴自弃，将已知性质和结论转化成数论语言，他轻易的就找到了目标。


    就是要去构造一个与b互素的数，假设为p，再证明p∈s即可。


    再根据性质3，若pi，pj互素，则pi·pj∈s，又根据素数分解定理，每个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积，并且这些素数的幂次是唯一的。


    所以p可以写成p1^α1·p2^α2···pm^αm，其中p1到pm均为素数。


    也就是说，只需要证明pi^k∈s（k为任意非负整数），就能证明p∈s。


    很快，陈辉就有了思路，根据题目，如果pi能够被a整除，那么根据性质1和性质2，轻易就能得出pi^k∈s。


    可若是pi不能整除a呢？


    不能整除，就说明pi与a也互素，同时因为pi为p的分解素数，p与b互素，那么pi与b也互素。


    性质123都已经用了，所以接下来必然会用到性质4。


    an+b∈s


    这个性质应该怎么利用呢？


    陈辉绞尽脑汁，却一筹莫展，这还是他洞察力提升后，第二次遇到这种情况，这让他想到了在数竞队张安国给他出的题，当时他也是像现在这般。


    后来他知道张安国那道题有常规的解法，只是他当时不知道而已。


    所以，这道题必然也有某个解法，或者公式定理是自己没有想到的！


    可陈辉没有深入研究数论，大脑中也并没有关于数论的体系，一时之间竟然都不知道该从什么地方去寻找这种解法或者公式定理。


    解法，公式定理，说白了，就是前人搭的梯子。


    牛顿说过，他能有那般成就，不过是站在了巨人的肩膀上。


    所以，解法当然要从前辈先贤身上去找！


    陈辉大脑飞速运转，开始头脑风暴。


    擅长数论的数学家很多，但目前陈辉了解的也就那么几个，费马、欧拉、高斯。


    费马研究的东西天马行空，费马大小定理，亲和数，素数分布，这些定理在数论中的地位举足轻重。


    但他一生只玩高端局，并且都是让后人帮他证明，高中生的题目应该还轮不到费马出马吧？


    高斯主要研究的是代数数论，比如二次互反律，算术几何平均之类的问题，显然跟这道题的调性不符。


    所以，是欧拉吗？


    一番分析，陈辉将目标锁定在了这位数学国王身上。


    他有些振奋，他对欧拉的了解其实是要比其他两人更多的。


    这还是因为当时学习欧拉积分时，听了安老师的建议。


    否则他就只能抓瞎了。


    死马当成活马医，没有选择的选择，就是最好的选择。


    陈辉开始回想欧拉一生中提出的，关于数论方面的定理。


    他也不是拧巴的人，如果从欧拉身上找不到解题方法，那就放弃这道题，回去好好研究数论，明年再来便是。


    欧拉一生发表了超过1500篇论文，提出的定理公式理论浩繁如星海。


    经过提升的记忆力帮了陈辉大忙，有极强的洞察力辅助，虽然只是看了一遍欧拉的生平，但对欧拉提出的重要的公式和定理他都记得很清楚。


    既然想到欧拉，那么自然能想到他在数论领域大名鼎鼎的欧拉定理。


    欧拉定理！


    很快，陈辉眼前亮起刺目的光芒。


    找到了！


    他找到了！


    解题的钥匙果然藏在欧拉身上！


    欧拉定理：


    若a和n是正整数，且a和n互素（即最大公约数为1），则a的φ(n)次方对n取模的结果为1，即aφ(n)≡1(modn)


    陈辉陷入前所未有的兴奋状态，无数思路如同泉水般在大脑中涌现。


    【由欧拉定理，a^aφ(pi^k)·n+b≡n+b(modpi^k)，则令a0=1，an=a^aφ(pi^k)·a^n+b，则an≡a^n+b(modpi^k)，又因为(pi，a)=1，(pi，b)=1，所以当n从0取到pi^k时，an可以取到pi^k的完全剩余系，此时必有at=t·pi^k∈s，所以pi^k∈s！


    综上所述……】


    证明完毕！